• 出栈次序问题

     一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?

    分析(from 百度百科:卡特兰数


    对于每一 个数来说,必须进栈一次、出栈一次。

    我们把进栈设为状态‘1’,出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。

                       //想象你是一个客栈的服务员,负责记录客人进出。有人进写1,有人出就写0。得到一个01的串

    由于等待 入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b),

                       //里不知道按递增进栈是否有必要

    因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位 二进制数,1的累计数不小于0的累计数的方案种数

    //下面用证明了不合要求的方案数为C(n+1,n);

    在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求(由左而右扫描,0的累计数大于1的累计数)的方案数即为所求。//C(2n,n)相当于从2n个位置中选取n个位置A(n,2n),由于放的都是1,所以取出的位置间是无差别的故有C(2n,n)=A(n,2n)/A(n,n);


    不 符合要求的数的特征是由左而右扫描时,必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数,

    此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换,使之成为n-m个0和n-m-1个1,结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的 2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。


    反过来,任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数, 由于0的个数多2个,2n为偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位 数,即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。


    因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应。

    //证明了不合要求的方案数为C(n+1,n);


    显然,不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出 输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。