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    勾股数的常用套路


      所谓勾股数,一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 
    即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 
    又由于,任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数,所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 
    关于这样的数组,比较常用也比较实用的套路有以下两种:

    第一套路


      当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 
    实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如: 
    n=1时(a,b,c)=(3,4,5) 
    n=2时(a,b,c)=(5,12,13) 
    n=3时(a,b,c)=(7,24,25) 
    ... ... 
    这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

    第二套路


      2、当a为大于4的偶数2n时,b=n^2-1, c=n^2+1 
    也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如: 
    n=3时(a,b,c)=(6,8,10) 
    n=4时(a,b,c)=(8,15,17) 
    n=5时(a,b,c)=(10,24,26) 
    n=6时(a,b,c)=(12,35,37) 
    ... ... 
    这是次经典的套路,当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数,所以该勾股数组必然不是互质的;而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质,所以该勾股数组互质。 
    所以如果你只想得到互质的数组,这条可以改成,对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1,例如: 
    n=2时(a,b,c)=(8,15,17) 
    n=3时(a,b,c)=(12,35,37) 
    n=4时(a,b,c)=(16,63,65) 
    ... ...

    补充


      ========Edward补充========
    对于N 为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行 取相应的勾股数补充,即1个N会有多对的勾股数,例如:
    n=9时(a,b,c)=(9,24,25)or (9,12,15) --------3* (3,4,5)
    n=12时(a,b,c)= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*(3,4,5)
    =========ShangJingbo补充=======
    还有诸如此类的勾股数,20、21、29; 
    119、120、169; 
    696、697、985; 
    4059、4060、5741; 
    23660、23661、33461; 
    137903 137904 195025 
    803760 803761 1136689 
    4684659 4684660 6625109
    ……
    已有三千年研究历史的勾股定理还有研究的空间吗? 我用本文试探索。more